Polinomial Legendre

Dalam dunia teknik juga tidak asing dengan suatu persamaan yang biasa dikenal dengan Persamaan Legendre. Nah bentuk umum dari Persamaan Legendre ini adalah sbb:
dengan n suatu konstanta.

Tentu saja kita juga ingin mencari solusi umum dari persamaan ini. Kita dapat membuat suatu fungsi suku banyak atau polinomial yang merepresentasikan solusi dari persamaan ini. Perhatikan setiap langkah berikut:
1. misalkan kita ambil solusi umum (dengan y = Pn(x) atau polinomial dalam x), maka berdasarkan metode Deret Pangkat yang telah kita pelajari sebelumnya, kita dapat men-substitusikannya kedalam persamaan Legendre diatas, sehingga menjadi bentuk berikut:
dengan k = n(n+1)

2. Lalu kita uraikan persamaan diatas menjadi:
 

3. Untuk mempermudah perhitungan mendapatkan rumus rekursifnya, kita sama kan pangakat di setiap deret dengan s sehingga terbentuk :


4. Dari persamaan diatas, kita dapati :


5. Sehingga jika disederhanakan menjadi rumus rekursif:
untuk s = 0,1,2,...

6. untuk (s<= n-2) jika ditetapkan , maka persamaan diatas menjadi:





7.  Sederhanakan membentuk:
 

8. begitu pula untuk (s = n-4):
 
9. jadi secara umum ketika n-2m >= 0 didapat:
 

10. Sperti deret pangkat akhirnya kita menemukan solusi umum yaitu Polinomial Legendre, seperti ini:
 

Yah begitulah langkah-langkah dalam menentukan solusi umum persamaan Legendre dalam bentuk Polinomial Legendre.